Monsterkurver
Hvor stort er et snøflak, hvor lang er en kystlinje?
I geometri har man alltid vært opptatt av det glatte, jevne, rette. De geometriske figurene er så perfekt utformet, at det faktisk ikke finnes noen fysiske eksempler på dem. (Det finnes ingen sirkler i naturen, bare rundinger.) Men hva gjør man så i geometrien, med slike perfekte figurer? Man måler dem ... man måler lengde, areal, volum.
Noen av de mest berømte menneskene i verdenshistorien er matematikere som har greid å måle størrelsen på slike perfekte geometriske figurer. (Grekeren Arkimedes lærer vi fremdeles om på skolen i dag, flere tusen år etter at han døde. Blant hans største bedrifter er en metode for å regne ut tallet PI, som han oppga til å være mellom 3 + 1/7 og 3 + 10/71.)
Hva har så geometrikere gjort når de finner figurer som ikke har latt seg måle? Da har de kalt dem 'monster-kurver' - og latt dem være i fred. Men likevel - ønsket om å måle størrelsen på ting, har gitt opphavet til det vi idag kaller fraktal-geometri.
Ordet 'fraktal' ble først brukt av matematikeren Benoit Mandelbrot i 1975. Ordet kommer av det latinske 'fraktus', som betyr brukket. Og fraktale figurer er geometriske objekter som er like ujevne og irregulære som en sirkel er glatt og velformet. Noen fraktaler kan deles opp i biter - som igjen er identisk med den opprinnelige figuren. Man sier at fraktaler 'ligner seg selv' - siden delene av en fraktal ligner helheten.
En av de mest kjente fraktalene er Helge von Koch sitt snøflak. I 1904 beskrev han en figur som er uendelig lang og uendelig detaljert. (Velg aktiviteten 'Kyslinje-fraktal' for å tegne figuren.) Når man ser på snøflaket hans, kan man godt forstå hvorfor den brukes i dataprogrammer for å tegne landskaper.
Fraktaler er matematiske objekter på linje med sirkler, trekanter og linjer. Det finnes ingen sirkler i verden rundt oss. Men det finnes heller ikke noe i verden som er like hakkete og 'brukket' som en fraktal. Tenk på et bilde: Hvis vi forstørrer et bilde nok, så vil det forsvinne i små flekker av trykksverte. Men samme hvor mye man forstørrer en fraktal, finnes det alltid uendelig mange detaljer i den.
I dag er fraktalgeometri en av drivkreftene i underholdningsindustrien. Man bruker fraktaler til å generere landskaper i dataspill og 3D-filmer - nettopp fordi de har uendelig mange detaljer. Samme hvor mye figurene forstørres - eller forminsker - vil de alltid ha like mange detaljer. Det er faktisk en matematiker (Ken Perlin) som har fått Oscar for å ha utviklet metoder som kan brukes av dataprogrammer for å lage landskaper og teksturer.
Fraktaler passer godt som utgangspunkt for dataprogrammer som tegner bilder. Mange fraktaler kan produseres ved at man gjentar en enkel prosess uendelig mange ganger. (For eksempel kan man be datamaskinen om å tegne en firkant. Og så kan man be den om å tegne en litt mindre firkant på hvert hjørne. Og en enda mindre firkant på de nye hjørnene osv. Og datamaskiner er veldig enkle vesener: De klager ikke, samme hvor mange ganger de må gjenta en oppgave!
Fraktale gallerier
Alternativer
I disse bildene ser vi hvordan en brokkoli 'er seg selv lik'. Mønsteret i planten gjentar seg i stadig mindre varianter når vi går tett inn på den. (Foto fra www.pdphoto.org.)
I dette satelittbildet av norskekysten ser vi hvordan store fjorder og små viker er formet på samme måte. Når vi 'zoomer' inn på kystlinjen, vil vi hele tiden oppdage nye detaljer. (Foto fra NASA.)